لنفترض أنfو{\displaystyle g}دالتان متصلتان قابلتان للاشتقاق، وحسب قاعدة التكامل بالتجزئة فإن:
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx={\Bigl [}f(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)f'(x)\,dx}
وإذا افترضنا أن{\displaystyle u}تساوي{\displaystyle f(x)}وvتساوي{\displaystyle g(x)}فإنه يمكن كتابة القاعدة على النحو:
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}
استخدام التكامل بالتجزئة
المثال الأول
{\displaystyle \int x\cos(x)\,dx}
ليكن{\displaystyle u=x}و{\displaystyle dv=\cos(x)dx}
إذا{\displaystyle du=dx}و{\displaystyle v=\sin(x)}
ونحصل على ما يلي :
{\displaystyle \int x\cos(x)\,dx=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx=x\sin(x)-(-\cos(x))=x\sin(x)+\cos(x)}
التكامل المحدد اذا كانت دالة معرفة على (أ، ب) وكانت النهاية التالية نها عندما النون تسعى إلى المالا نهاية مجموع ر=1 دلتا س د)(س*ر) موجودة تسمى هذه النهاية التكامل المحدد للدالة د على (أ، ب) نعبر بها بالرمز أ/ب د(س) ءس
ناتج التكامل المحدد =عدد حقيقي
تسمى أ، ب حدى التكامل أ حد أدنى و ب حد أعلى
ءس مجرد رمز يعبر عن المتغير الذي تكامل بالنسبة له
إذا كانت الدالة د متصله على الفترة(أ، ب) فان د قابلة للتكامل على ( أ، ب)